Skálázások

A további eljárások tárgyalásához szükség van a következő jelölések bevezetésére:

{Q_b} - a világosságkódok eredeti (bemenő) értékkészlete
{Q_k} - az eredményül kapott (kimenő) értékkészlet
q_bm, q_km - a megfelelő halmaz legkisebb elemei
q_bM, q_kM - a megfelelő halmaz legnagyobb elemei
q_b€{Q_b} - egy képpont eredeti világosságkódja
q_k€{Q_k} - egy képpont transzformált világosságkódja

Skálázásnak nevezzük a T:{q_ba, q_bf} {Qk} leképzést megvalósító globális transzformációkat, ahol q_ba >= q_bm , ill. q_bf <= q_bM a bemenő világosságkód-intervallum alsó illetve felső határa.
Legtöbbször szakaszonkénti lineáris transzformációt végzünk a következő összefüggés alapján:

ahol int a legközelebbi egész-szám függvény. Ha teljesen bemenő intervallumot akarjuk transzformálni, akkor q_ba = q_bm , ill. q_bf = q_bM, különben sávzsugorításról beszélünk. Az utóbbit akkor érdemes alkalmazni, ha az értékes képpontok világosságkódja a [q_ba , q_bf ] tartományba esik. Akkor is célszerű, ha a szélsőséges világosságkódú képpontok száma alacsony, és megtartásuk feleslegesen szegényítené a többség kontrasztját.

Szakaszonkénti lineáris transzformációk

Az eljárást kontrasztkiemelésnek nevezzük, ha {Q_b} {Q_k}, ugyanis ilyenkor ténylegesen megnő a különbség a legsötétebb és a legvilágosabb képpontok világosságkódja között, az eredménykép hisztogramjában pedig lyukak keletkeznek.

Kontrasztikemelés

Tetszés szerinti t transzformációt valósíthatunk meg a 

képlettel. Itt q_tM, ill. q_tm a bemenő kódokra alkalmazott t transzformáció során nyert legkisebb, ill. legnagyobb értékek. Monoton növekvő t függvény esetén természetesen q_tM=t(q_bM) és q_tm=t(q_bm).

Az eddig tárgyalt monoton növekvő transzformációs függvények helyett monoton csökkenő vagy nem monoton függvények is használatosak. Inverz megjelenítést érhetünk el a 

invertáló transzformációval, ha pl. a sötétebb képrészek hordozzák a hasznos információt.
A skálázásokat átszínezésnek is nevezzük, mivel a színes megjelenítés esetén megváltoztatják a képpontok színét.

Képvágások

Vágásnak a képpontok küszöbök szerinti osztályozását nevezzük. A küszöb az osztályozás szempontjából figyelembe vett - mindig mérhető és ezért számszerűsíthető - tulajdonság határértéke. Legyen {₀ <₁<...<_n } a megadott n+1 küszöb halmaza, ezekkel a képpontokat n osztályba sorolhatjuk. Jelöljük a vizsgált képjellemzőt -val. Egy képpont akkor tartozik az i-edik osztályba, ha teljesül a _i-1 <= < _i feltétel.
A legegyszerűbb vágási eljárásban a képpontokat világosságkódjuk szerint osztályozzuk. Ilyenkor mindig érvényes a ₀ = q_m, és a _n = q_M+1 alapértelmezés. Ha n osztályt definiálunk, az eljárást n-szintre vágásnak nevezzük. Ehhez nyilvánvalóan legalább n-1 küszöböt kell megadni. Az alábbi ábra 4-szintrevágást mutat be, természetesen az egy osztályba tartozó világosságkódok nem kell, hogy összefüggő intervallumot alkossanak.

4-szintrevágás

Igen gyakori eset a két-szintrevágás, amikor a képpontokat értékes és háttér képpontoknak minősítjük s a továbbiakban csak az értékes képpontokat dolgozzuk fel. 

2-szintrevágás

További speciális eset a sávkivágás, amihez két küszöbre (_{1, 2}) és két osztályszintre (q₁,q₀) van szükség. Az eljárás a ₁ <= q(k,l) < ₂ világosságkódú képpontokat q₁ színűre színezi át. A többi pont vagy háttérszínű (q₀) lesz vagy nem változik.

Sávkivágás

Zajos képekben rendszerint mind a háttérben, mind az értékes pontok között vannak azonos világosságkódúak. Ilyenkor az egyszerű vágás nem vezet eredményre. Ha a két-szintrevágás előtt simítószűrőt alkalmazunk, az eredmény sokkal megfelelőbb lesz.

Vágás átlag szerint

Az elvégzett transzformáció:

Az alábbi ábrán a világosságkódok átlaga is azonos. Itt a különböző gradiensű képpontok szétválogatásával lehet megfelelő eredményt elérni.

Vágás gradiens eloszlás szerint

Hisztogram transzformációk

Az eddigiektől némileg eltérnek azok az ugyancsak globális módszerek, amelyekben úgy transzformáljuk a világosságkódokat, hogy a kép hisztogramja előre meghatározott alakú legyen. Ere a következő esetekben lehet szükség:

- Össze akarunk hasonlítani két képet, amelyek különböző megvilágítási viszonyok mellett, készültek, s így a valóságban azonos fényességű pontokhoz a két képben különböző világosságkódok tartoznak. Ilyenkor a két hisztogramot azonos alakúra kell hozni.

- A kép olyan tulajdonságait akarjuk elemezni, amelyek a világosságkódok eloszlásától függnek. Ekkor célszerű a hisztogramot valamilyen normalizált alakra hozni.

- Utólag meg akarjuk valósítani az eloszlásfüggő (tapered) kvantálást, a kvantálási hiba csökkentése érdekében rendszerint adott számú kvantumszint megtartásával. E célból sűríteni kell a kvantumszinteket azokban a világosságkód-tartományokban, ahová a képpontok nagyobb része tartozik, míg a többi tartományban a szinttávolságok nőnek. Az eljárást közvetlen hisztogramspecifikációnak is nevezzük, mivel hatására az eredménykép hisztogramja előre meghatározott függvény közelítése lesz.

Jelölje a bemeneti  hisztogram ordinátáit (q), a kimenőét (r). A relatív gyakoriságból következik, hogy ezek arányosak a q-adik, illetve az r-edik kvantumszinthez tartozó képpontok számával és

ahol s() a bemenő, t() pedig a kimenő sűrűségfüggvény. Hisztogramkiegyenlítés esetén

amit az eloszlásfüggvényre felírt összefüggésbe beírva az alábbi eredményre jutunk:

Ha a bemenő eloszlásfüggvény helyére behelyettesítjük a diszkrét közelítésnek megfelelő halmozott bemenő részhisztogramot, minden q_b bemenő világosságkódhoz explicit módon meghatározhatjuk az r kimenő világosságkód közelítő értékét:

.

Élkiemelés (élesítés)

A torzítások (képhibák) második csoportja a határátmenetek kiszélesedésében, az élek elmosódásában jelentkezik. Pszichofizikai kísérletekkel bebizonyították, hogy szubjektíven előnyösebb érzetet kelt a túlhangsúlyozott élekkel rendelkező kép, mint a valósághű ábrázolás. Ezen túlmenően az élkiemelést a szegmentálásnál (mi esetünkben elemzések) tárgyalt élkitűzés előkészítő fázisaként is gyakran alkalmazzák.

Az eljárások célja az egyes képrészletek közötti átmeneti tartomány szűkítése, a határátmenetek meredekebbé tétele, az elmosódások korrigálása, így ezek általában lokális jellegűek.
Élkiemelést lehet megvalósítani a statisztikus differencia-operátorral. Az eljárás során egy képpont korrigált világosságkódját úgy számítjuk ki, hogy elosztjuk a környezetében lévő képpontok világosságkódjának eloszlása alapján meghatározott szórással. Az eredményképben a hirtelen változások helyén kis, a homogén tartományokban nagy világosságkód-értékek jelennek meg. Hátrányos, hogy az eljárás a zajokat is kiemeli.

A módszereket rendszerint konvolúciós szűrővel realizálják. Az eljárás azt jelenti, hogy minden képpont világosságkódját helyettesítjük a szűrő által kijelölt környezetében lévő képpontok világosságkódjának valamilyen súlyozott átlagával. A leggyakrabban alkalmazott élkiemelő függvény az 

kifejezés, ahol a  ² digitális Laplace-operátor. Így a függvényt az alábbi ábrán megadott T_f1 jelű konvolúciós szűrő realizálja.

T_f1 =    T_f2 =    T_f3 =

Felüláteresztő (élkiemelő) szűrők

Az élkiemelő szűrők hatásainak megtekintése

Zajelnyomás (simítás)

A képhibák harmadik csoportját a zajok alkotják. A képet érő zavaró hatások egy része abban nyilvánul meg, hogy a képpontok eredeti világosságkódja - általában véletlenszerűen - megváltozik. A zavaró hatások eredményét (a képre rakódott “zajt”) az érdemi feldolgozás előtt el kell távolítani a képről, vagy legalábbis csökkenteni kell. Az erre irányuló eljárásokat nevezzük zajszűrésnek, zajelnyomásnak, vagy simításnak. 

A zaj általában véletlenszerűen előforduló, izolált pontokban jelentkezik, amelyeknek a világosságkódja lényegesen eltér a környezetükétől. Ezen megfigyelésen alapulnak a zajok elnyomására szolgáló lokális módszerek. A legegyszerűbb esetben minden képpont világosságkódját összehasonlítjuk valamilyen környezetében lévő képpontok világosságkódjának átlagértékével (q_á). A korrekció képlete:

ahol a kép jellegétől függő, kísérleti úton meghatározandó küszöbérték. A q_á 3x3 méretű környezet esetén például az alábbi szűrőkkel számítható ki.

T_a1 = 1 / 12    T_a2 = 1 / 8    

T_a3 = 1 / 9

Aluláteresztő (simító) szűrők

Ezek elemei mindig pozitívak, és összegük mindig 1. Többnyire négyzetesek és ritkán nagyobbak 5x5 méretűnél (ezek már nagyon elmosnák a képet).

A lineáris szűrés a zajhatásokat csak szétosztja, “szétkeni” egy nagyobb területre. Ha egyetlen pixelt terhel egy erőteljes zajbeütés (fehér pont egy sötét képen), akkor a szűrés után ez, bár határozottan gyengítve, de egy nxn pixel nagyságú területen elosztva jelentkezik. Létezik olyan szűrési eljárás, ami az ilyen pontszerű zajbeütésektől szinte tökéletesen meg tudja szabadítani a képet.

Ilyenek a rank szűrők, elvük a következő. Vegyük minden pixel egy meghatározott környezetét. A pixel valamint a környezet k darab intenzitás értékét rendezzük nagyság szerint növekvő sorba. E sorból vegyük az n-edik elemet; ez lesz a pixel új világosságértéke. Ha n=1, akkor mindig a minimális értéket választottuk, ha n=k, akkor mindig a k-adikat. Rank szűrő tehát nagyon sokféle van, hiszen a vizsgált pixelkörnyezet mérete, alakja sokféleképpen választható (néhány szokásos esetet felrajzoltam a következő ábrán), továbbá az n érték 1 és k közötti megválasztása is erősen befolyásolja az eredményt.

Különös fontosságú a rank szűrők azon változata, amelynél n=k/2, vagyis a sorba rendezett világosságértékek közül éppen a középsőt választjuk. Ilyenkor beszélünk medián szűrésről. A mediánszűrés során a figyelembe vett mintát a szűrőbe eső képpontok világosságkódja alkotja. A szűrést úgy valósítja meg, hogy minden képpont világosságkódját kicseréli a ráillesztett szűrő által meghatározott minta mediánjával. Nyilvánvaló, hogy ez a szűrés a kiugró zajcsúcsokat teljesen eltünteti és nem csak elkeni, mint a lineáris szűrés. A medián szűrés nem lineáris, mert a kép konstans szorzásával ugyan felcserélhető, de két kép összeadásával nem.

Az átlag- és a mediánszűrő hatása

A zajelnyomó szűrők hatásainak megtekintése

Képjavítások a frekvencia tartományban

Az előző pontokban ismertetett képjavítási eljárások a képpontok eredeti világosságkódjával végzett műveleteken alapultak. A képtartománybeli eljárások előnye, hogy könnyen programozhatók, hatékonyak és viszonylag kicsi a gépidő igényük. A számítástechnika fejlődésével a számítógépek teljesítménye ma már lehetővé teszi, hogy a frekvenciatartományban működő algoritmusokat is megvalósítsunk elfogadható válaszidők mellett. A frekvenciatartományban végzett (globális) javítások a konvolúció elméleten alapulnak , amikor is a képet kétváltozós függvényként kezeljük. Képlettel:

g(x,y) = f(x,y)   h(x,y)

ahol f(x,y) az eredeti, g(x,y) a javított képet, h(x,y) a javítást végző, eltolásvariáns szűrőfüggvényt jelenti. Ismeretes, hogy ez utóbbival egyenértékű eredményhez jutunk, ha az integranduszok Fourier-transzformáltjának szorzatát képezzük, majd erre inverz Fourier-transformációt hajtunk végre.

A képjavítás ezek szerint most úgy történi, hogy először előállítjuk a kép F(u,v) Fourier-transzformáltját, majd megszorozzuk egy alkalmasan választott H(u,v) szűrőfüggvénnyel:

G(u,v) = F(u,v) * H(u,v)

Ha most G(u,v)-re inverz Fourier-transzformációt hajtunk végre, megkapjuk a javított g(x,y) képet.

Zajszűrés

A frekvenciatartományban történő képjavítás Fourier transzformáción alapul. A bázisfüggvényben szereplő tagok periodikus függvények és síkhullámot írnak le a képsíkban. Az egyes bázisfüggvények abban térnek el egymástól, hogy mindegyiknek más a frekvenciája és ebből adódóan a hullámhossza. A folytonos függvényekre érvényes matematikai eljárásokat - amint az a képfeldolgozásban gyakran tesszük - átvisszük a digitális képekre, értelemszerűen az összefüggések diszkrét megfelelőjét alkalmazva. A gyakorlatban diszkrét Fourier transzformációt alkalmazunk a képekre ott, ahol a frekvencia értékek csak egész értéket vehetnek fel. Jelölje a megengedett frekvencia párokat ( u, v ), ahol u,v = 0,±1,±2,...

Digitális kép esetén a diszkrét Fourier transzformáció során minden (u, v) frekvencia párhoz egy F(u, v) komplex számot határozunk meg, amit Fourier együtthatónak nevezünk. Az elnevezés onnan származik, hogy a kép visszaállítása során az így meghatározott számok lesznek a megfelelő (u, v) frekvenciájú bázisfüggvény együtthatói. Ennek megfelelően ha az F(u,v) értékeket valamilyen módon megváltoztatjuk, akkor nem az eredeti, hanem a céljainknak megfelelően megváltoztatott képet kapjuk vissza. Ha bizonyos együtthatókat például egyszerűen 0 értékűre változtatunk, akkor a kép visszaállításakor ennek az együtthatónak megfelelő bázisfüggvény nem fog szerepelni. Ebből már látható hogy a frekvenciatartományban történő képjavítás akkor a leghatékonyabb, ha jól meghatározható frekvenciájú periodikus zajt kell a képből kiszűrni, hiszen akkor egyszerűen az adott frekvenciájú együtthatókat kell 0-ra változtatni.

Természetesen általános célú zajszűrést is végezhetünk a frekvenciatartományban, hiszen a zaj a világosságkódokban jelentkező véletlenszerű és hirtelen változást jelent. A képen lévő hirtelen változások leírásában a magasabb frekvenciájú, azaz rövidebb hullámhosszú bázisfüggvények kapnak szerepet, ennek megfelelően, ha ezeket “kiszűrjük", azaz nem vesszük figyelembe a kép visszaállításakor, akkor a zaj hatása csökken. A zajelnyomás mértéke attól függ, hogy hány magasabb frekvenciájú bázisfüggvényt hagytunk el. Miután az élek is hirtelen átmenetet jelentenek a képen, ezért sajnos a magas frekvenciájú bázisfüggvények elhagyásával az él átmenetek sem lesznek tökéletesen visszaállíthatók, ezért a visszaállított kép homályosabb lesz mint az eredeti.

A zajszűrő függvényeket aluláteresztő szűrőknek és az eljárást aluláteresztő szűrésnek (lowpass filtering) is nevezik tekintettel arra, hogy a magasfrekvenciás összetevőket kiszűrik, míg az alacsonyabb frekvenciájú komponenseket változatlanul hagyják.

A legegyszerűbb, ideális aluláteresztő szűrő átviteli függvénye a következő:

ahol az r = ( u² + v² )^1/2 euklideszi távolságfüggvény megadja az adott frekvenciapár origótól való távolságát, és r_o egy konstans. (Az r és r_o jelentése későbbi szűrőfüggvényekben is változatlan). A képletből látható, hogy az ideális szűrő változatlanul átengedi az r_o sugarú kör belsejébe eső alacsonyfrekvenciás összetevőket, hiszen ezek változatlanok maradnak, míg a körön kívüli magasabb frekvenciájúakat teljesen kiszűri (0-val szorozzuk a Fourier együtthatókat). Azokat a frekvenciapárokat, ahol a H(u,v) függvénynek szakadása van, vágási frekvenciának nevezzük. A fentiekben megadott szűrőfüggvény az (u,v) síkra helyezett, a w tengelyre nézve szimmetrikus, egységnyi magasságú, r_o sugarú hengerrel ábrázolható, amelynek az alaplapja középpontjával az origóra illeszkedik. A függvény felületét a henger fedőköre és az (u,v) síknak a függvény értelmezési tartományába eső része alkotja a henger alaplapjának kivételével.

Az ideális szűrő hátránya, hogy a magasfrekvenciás összetevőket teljes mértékben kiszűri, ezzel az éleket is elsimítja, így nagymértékben homályosítja a képet. További hátrány, hogy az elhagyott és megtartott frekvenciák közötti éles vágás miatt zavaró hatás, az úgynevezett gyűrődés jelenik meg a visszaállított képen, ami azt jelenti, hogy a képen periodikusan jelentkező foltok tűnnek fel. Ennek elkerülésére olyan szűrőfüggvényeket szoktak alkalmazni, amelyek fokozatosan módosítják a Fourier együtthatókat.

Élkiemelés

Az élek nagyobb változást jelentenek a világosságkódokban, vagyis szintln a kép Fourier-transzformáltjának nagyobb frekvenciájú komponenseit adják. Ezért felüláteresztő szűrők (highpass filter) alkalmazásával tudjuk az élesítést elvégezni, amelyek kiszűrik a kisfrekvenciás komponenseket és változatlanul hagyják a többit. A zajelnyomásnál megismert aluláteresztő szűrők felüláteresztő megfelelőit az alábbiakban adjuk meg:

Ideális szűrő:

Butterworth-szűrő:

Exponenciális szűrő:

Trapéz szűrő:

Az ideális szűrő természetesen levág egy adott frekvencia alatt minden összetevőt, azaz teljesen kiszűri a kép kisfrekvenciás összetevőit, különben mindegyikük mellékhatásai megegyeznek a megfelelő aluláteresztő szűrőéivel.